答：在數(shù)學(xué)歷史上，有三次大的危機(jī)深刻影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展，三次數(shù)學(xué)危機(jī)分別是：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、微積分的完備性、羅素悖論。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在公元400年前，在古希臘時期，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“數(shù)”進(jìn)行了定義，認(rèn)為任何數(shù)字都可以寫成兩個整數(shù)之商，也就是認(rèn)為所有數(shù)字都是有理數(shù)。

但是該學(xué)派的一個門徒希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長為“1”的正方形，其對角線“√2”無法寫成兩個整數(shù)的商，由此發(fā)現(xiàn)了第一個無理數(shù)。

畢達(dá)哥拉斯的其他門徒知道后，為了維護(hù)門派的正統(tǒng)性，把希帕索斯殺害了，并拋入大海之中，看來古人也是解決不了問題時，先解決提出問題的人。

即便如此，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)很快引起了一場數(shù)學(xué)革命，史稱第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，這危機(jī)影響數(shù)學(xué)史近兩千年的時間。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)微積分是一項(xiàng)偉大的發(fā)明，牛頓和萊布尼茨都是微積分的發(fā)明者，兩人的發(fā)現(xiàn)思路截然不同；但是兩人對微積分基本概念的定義，都存在模糊的地方，這遭到了一些人的強(qiáng)烈反對和攻擊，其中攻擊最強(qiáng)烈的是英國大主教貝克萊，他提出了一個悖論：

從微積分的推導(dǎo)中我們可以看到，△x在作為分母時不為零，但是在最后的公式中又等于零，這種矛盾的結(jié)果是災(zāi)難性的，很長一段時間內(nèi)數(shù)學(xué)家都找不到解決辦法。直到微積分發(fā)明100多年后，法國數(shù)學(xué)家柯西用極限定義了無窮小量，才徹底解決了這個問題。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)家總有一個夢想，試圖建立一些基本的公理，然后利用嚴(yán)格的數(shù)理邏輯，推導(dǎo)和證明數(shù)學(xué)的所有定理；康托爾發(fā)明集合論后，讓數(shù)學(xué)家們看到了曙光，法國科學(xué)家龐加萊認(rèn)為：我們可以借助結(jié)合論，建造起整座數(shù)學(xué)大廈。

正在數(shù)學(xué)家高興之時，英國哲學(xué)家、邏輯學(xué)家羅素，提出了一個驚人的悖論——羅素悖論：

羅素悖論通俗描述為：在某個城市中，有一位名譽(yù)滿城的理發(fā)師說：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉?！蹦敲凑垎柪戆l(fā)師自己的臉該由誰來刮？

羅素悖論的提出，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的又一次危機(jī)，數(shù)學(xué)家辛辛苦苦建立的數(shù)學(xué)大廈，最后發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)居然存在缺陷，數(shù)學(xué)家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個公理化集合論體系的建立，才彌補(bǔ)了集合論的缺陷。

雖然三次數(shù)學(xué)危機(jī)都已經(jīng)得到了解決，但是對數(shù)學(xué)史的影響是非常深刻的，數(shù)學(xué)家試圖建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，但是無論多么小心，都會存在缺陷，包括后來發(fā)現(xiàn)的哥德爾不完備性定理。

我的內(nèi)容就到這里，喜歡我們文章的讀者朋友，記得點(diǎn)擊關(guān)注我們——艾伯史密斯！

非常感謝小伙伴“鐘銘聊科學(xué)”的厚愛、信任和邀請。

對于數(shù)學(xué)僅限于學(xué)校里學(xué)的那點(diǎn)東西，薄如蟬翼，談不上什么深刻理解，但也聽說過數(shù)學(xué)史上有三次危機(jī)。限于老郭水平不高，能力有限無法深入，蜻蜓點(diǎn)水的說一下。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)-無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)勾股定理是咱們小伙伴們都熟悉的，a^2+b^2=c^2。這個公式出來之后就用到了已知兩條邊長求解直角三角形第三條邊的邊長問題上。很明顯，開平方之后會出現(xiàn)根號2、根號3這種情況，這種不能完全開平方的數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)，我們現(xiàn)在叫做無理數(shù)。

我們現(xiàn)在理解這些數(shù)當(dāng)然是沒問題的，不過在當(dāng)時，這種數(shù)的出現(xiàn)，打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為的世界的和諧性質(zhì)。他們認(rèn)為宇宙萬物都可以歸結(jié)為整數(shù)或者是整數(shù)之比。這就導(dǎo)致了一種認(rèn)識上的“危機(jī)”，這個危機(jī)被稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

其實(shí)，這次“危機(jī)”（我? ??不認(rèn)為這是什么危機(jī)）給幾何的發(fā)展帶來了一次推動。因?yàn)椋霈F(xiàn)了無理數(shù)意味著，人類依靠直覺和經(jīng)驗(yàn)建立的科學(xué)不一定是可靠的，而嚴(yán)格的推理證明才是靠得住的。從那以后，希臘人開始重視演繹推理，并且建立了幾何公理體系。這就是危難之中的機(jī)遇，古希臘人抓住了這個機(jī)遇，創(chuàng)造了平面幾何的第一次輝煌。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)-阿基里斯追不上烏龜“阿基里斯追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個數(shù)學(xué)悖論故事是很有名的，其實(shí)我們現(xiàn)在的小伙伴都能知道，這是不可能發(fā)生的事，只要求一個極限，這個事就搞定了，跟本不存在追不上烏龜?shù)氖虑?。然而?7世紀(jì)，微積分剛剛誕生那個時代，這個事還真是個大事。

當(dāng)時包括牛頓、萊布尼茨等等大佬都沒有找到解決這個問題的辦法。當(dāng)時微積分剛剛初創(chuàng)，邏輯基礎(chǔ)非常的不牢固。很多基礎(chǔ)問題，無窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性等等；符號的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級數(shù)等等。

那時候，這個問題爭論的焦點(diǎn)就在于無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個半世紀(jì)的爭論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

同第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一樣，危機(jī)帶來的不是數(shù)學(xué)大廈的坍塌，而是數(shù)學(xué)家們再次鞏固了數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。從數(shù)學(xué)家波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，歷經(jīng)50余年，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)—我給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子好吧，對于集合論老郭也是學(xué)了點(diǎn)最最入門的皮毛，說不太清楚。1903年，羅素找到了集合的一個漏洞，并打了一個有趣的比喻說，我給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子。也就是說你自己給自己刮胡子那么我就不給你刮胡子，如果你不給你自己刮胡子我就給你刮胡子。那么羅素應(yīng)不應(yīng)該給自己刮胡子呢？

就這么一個小小的刮胡子的比喻要了集合論的創(chuàng)立者康托爾老命，最終死在了自己工作的哈佛大學(xué)精神病院里面。由此看出，要是誰沒點(diǎn)精神問題，還都不好意思說自己是數(shù)學(xué)家。

雖然說后來經(jīng)過很多數(shù)學(xué)家的努力，但至今只能說是趨于完善，依舊沒有人能夠完美解決這個刮胡子的問題，因此被稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

總結(jié)，其實(shí)我覺得，三次數(shù)學(xué)危機(jī)的本質(zhì)其實(shí)都是一個有窮和無窮的問題。人類的經(jīng)驗(yàn)都是建立在有窮的基礎(chǔ)之上，屬于有窮思維，而高等數(shù)學(xué)這種東西，其實(shí)就是在跟無窮打交道，所以在處理問題的時候必須要小心謹(jǐn)慎。另外，數(shù)學(xué)遇到了不能解決的麻煩和挫折可以認(rèn)為是一種危機(jī)，但同時危機(jī)也意味著機(jī)遇和挑戰(zhàn)，解決危機(jī)就意味著進(jìn)步。所以，三次數(shù)學(xué)危機(jī)，三次推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

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